先捞一下曾经捞了四天都没人回答的题

有一道小学二年级数学题：在 $1\sim100$ 中找到 $10$ 个不同的正整数，使得其倒数和为 $1$

解法是显然的，$1=(\sum\limits_{i=1}^9 \frac{1}{i(i+1)})+\frac{1}{10}$，裂项即可

但是因为太简单，好奇的我改了一下题：在 $1\sim100$ 中找到一些不同的正整数，使得其倒数和为 $1$，且个数最多

因为太笨，目前我只知道一种应该很快能想到的 $32$ 个解：$\{7,14,16,17,18,20,22,24,25,27,28,30,32,34,40,42,54,55,56,60,66,70,72,78,80,84,85,90,91,96,99,100\}$，因为 $\frac{1}{7}+\frac{1}{14}+\frac{1}{16}+\frac{1}{17}+\frac{1}{18}+\frac{1}{20}+\frac{1}{22}+\frac{1}{24}+\frac{1}{25}+\frac{1}{27}+\frac{1}{28}+\frac{1}{30}+\frac{1}{32}+\frac{1}{34}+\frac{1}{40}+\frac{1}{42}+\frac{1}{54}+\frac{1}{55}+\frac{1}{56}+\frac{1}{60}+\frac{1}{66}+\frac{1}{70}+\frac{1}{72}+\frac{1}{78}+\frac{1}{80}+\frac{1}{84}+\frac{1}{85}+\frac{1}{90}+\frac{1}{91}+\frac{1}{96}+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}=1$

那么能否继续优化？萌新求助！！！