有一个长为 $k$ 的正整数序列 $\{a\}$，定义 $S_n$ 表示 $\sum_{i=1}^k x_ia_i$ 的序列 $\{x\}$ 数量。已知 $n$ 足够大的时候 $S_n \not= 0$。求证当 $n$ 足够大的时候有 $S_{n + 1} < 2S_n$。