求助一个式子的证明
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  • 发布时间2023/11/21 08:06
  • 上次更新2023/11/21 14:40:40
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求助一个式子的证明
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Jeefy楼主2023/11/21 08:06

这里 s≥0s \ge 0，n,mn, m 是整数

∑k(−1)k(sm+k)(t+kn)=(−1)s+m(t−mn−s)\sum_k (-1)^k \binom{s}{m + k} \binom{t + k} n = (-1)^{s + m} \binom {t - m}{n - s}

我的推导如下：

=∑k(−1)k(sm+k)(t+kt+k−n)=∑k(−1)k(sm+k)(−1)t+k−n(−n−1t+k−n)=(−1)t−n∑k(sm+k)(−n−1t+k−n)=(−1)t−n(s−n−1s−m+t−n)=(−1)t−n(−1)s−m+t−n(t−mn−s)=(−1)s+m(t−mn−s)\begin{aligned} &= \sum_k (-1)^k \binom s {m + k} \binom {t + k}{t + k - n} \\ &= \sum_k (-1)^k \binom s {m + k} (-1)^{t + k - n} \binom {-n - 1}{t + k - n} \\ &= (-1)^{t - n} \sum_k \binom s {m + k} \binom {-n - 1}{t + k - n} \\ &= (-1)^{t - n} \binom {s - n - 1}{s - m + t - n} \\ &= (-1)^{t - n} (-1)^{s - m + t - n} \binom {t - m} {n - s} \\ &= (-1)^{s + m} \binom {t - m} {n - s} \end{aligned}

但是这个变化步骤中有很大的漏洞：

  • 在第一步 (t+kn)→(t+kt+k−n)\binom {t + k}{n} \to \binom {t + k}{t + k - n} 的过程中，我并没有关注 t+k≥0t + k \ge 0 的条件，同样，在最后我也没有关注 t+m≥0t + m \ge 0 的条件。

  • 同时，我并没有利用到 s≥0s \ge 0 的条件，意味着这个推导很可能在 s<0s < 0 的时候不成立。

我想知道有没有什么更合理的推式子的方法，或者我该如何改进这个过程？

2023/11/21 08:06