一个鱼塘最开始有 $k$ 条鱼，每一天的鱼数是前一天的 $2$ 倍。

一个渔夫要到这个鱼塘捕鱼。为了让他的妻子满意，渔夫每一天捕的鱼的数量必须不少于前一天捕鱼的数量，同时渔夫也不可能捕到比当天鱼塘鱼数多的鱼。问 $T$ 天后渔夫最多总共捕到多少条鱼？

如： $k=1,T=5$。即鱼塘第一天有 $1$ 条鱼。渔夫捕 $0$ 条鱼；鱼塘第二天有 $2$ 条鱼，渔夫捕 $1$ 条鱼。鱼塘第三天有 $2$ 条鱼（原本 $2$ 条没了一条就只有 $1$ 条鱼，过了一天翻倍后就是 $2$ 条），渔夫捕 $2$ 条鱼。总共能捕到 $4$ 条鱼。

1. 有没有快速的解法？

2. 如果 $T \to \infty$，渔夫的最佳策略是什么（在后面鱼的数量都满足条件的情况下期望捕到鱼的速度更快的策略）？