给定一个素数 $p$，对每个 $0 \le x < p$，设 $f(x)$ 表示一个最小的非负整数 $a$，使得存在一个非负整数 $b$，满足 $(a^2+b^2) \bmod p = x$。

要求 $\max\{ f(0), f(1), \cdots, f(p-1) \}$ 的值。

可以通过打表发现答案非常小，p在1e5以内答案最大只有31，似乎是 $O(\log n)$ 量级的，请问怎么证明？