上课摸鱼口胡出的题（
求证：
∑k=1nk⌊nk⌋=∑k=1n12⌊nk⌋(⌊nk⌋+1)\sum_{k=1}^nk\left\lfloor\dfrac{n}{k}\right\rfloor=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2}\left\lfloor\dfrac{n}{k}\right\rfloor\left(\left\lfloor\dfrac{n}{k}\right\rfloor+1\right)∑k=1nk⌊kn⌋=∑k=1n21⌊kn⌋(⌊kn⌋+1)
两个式子可以从 ∑k=1nσ(k)=∑k=1n(id∗1)\displaystyle\sum_{k=1}^n\sigma(k)=\sum_{k=1}^n(\operatorname{id}*\mathbf{1})k=1∑nσ(k)=k=1∑n(id∗1) 分别对 1\mathbf 11 和 id\operatorname{id}id 展开得到，但是展开几乎是不可逆的，有没有什么直接证明的方法 /kk
