本蒟蒻高一，数学不是很好。在一个集合A中有几个子集的问题时，老师只是说有n个元素的集合A的子集个数为 $2^n$ 但并未详细解释（原题n=4，直接暴力枚举即可），我就在晚自习推了一下

1.首先空集1种

2.接着当子集B中只有 1 个元素时，有 n 种情况。

3.当子集B中有 2 个元素时，在上一步的集合中再在末尾插入一个元素，有 n-1 种可选元素，去重后共有 $\frac{n(n-1)}{2}$ 种情况

4.同理得 3 时，有 n-2 种可选，去重后共有$\frac{n(n-1)(n-2)}{2*3}$种情况。

……

容易得出

$ans=1+n+\frac{n(n-1)}{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{2*3}......$

$ans=1+\sum_{i=1}^{n}\frac{n(n-1)(n-2)...(n-i+1)}{i!}$

$=1+\sum_{i=1}^{n}\frac{\frac{n!}{(n-i)!}}{i!}$

$=1+\sum_{i=1}^{n}\frac{n!}{(n-i)!*i!}$

把每项都写出来发现杨辉三角

疑问：

可以从杨辉三角看出 $2^n=1+\sum_{i=1}^{n}\frac{n!}{(n-i)!i!}$ 是正确的。但是有没有其他证明？

以上做法会出现 $0!$ 在电脑计算器上显示答案是 1 ，这和阶乘的意义相矛盾吗？

望daolao指点一下QAQ