幸运数字一定是 $11$ 的倍数

设这个数为 $\sum 10^{i}a_{i}$（即 $a_{i}$ 是每个数位上的数字）
对于偶数位，$10^{i}a_{i}+10^{i-2}a_{i-2}=99a_{i}+10^{i-2}(a_{i}+a_{i-2})$，$99a_{i}$ 显然是 $11$ 的倍数，扔掉，后面继续推下去剩下 $10^{2}\sum a_{2i}$。奇数位同理，剩下 $\sum a_{2i+1}$
$\sum a_{2i}=\sum a_{2i+1}$，因此合并同类项后 $10\sum a_{2i}+\sum a_{2i+1}$ 显然是 $11$ 的倍数

$11$ 的倍数不一定是幸运数字

设这个数是 $10x+x$，如果加法没有进位那么 $x$ 的每个数位恰好对 $11x$ 的奇偶数位和各贡献一次，$11x$ 是幸运数字。但有进位时不成立，比如 $19\times11=209$