问一下 $Hermite-Hadamard$ 不等式适用于什么样的题型？

$f(x)=xlnx=m$ 有两根 $x_1,x_2$，求证：

$\sqrt{x_1x_2}\frac{x_1+x_2}{2}<e^{-2}$

蹲个更简单的做法。目前只能想到令 $t=\frac{x_1}{x_2}$ 再暴力导的若至做法。