问题是这样的：一个数列：$f_i+f_{i+2} = 2f_{i+1}\;f_1= 1$ 求 $f_n$

看见递推方程很高兴，想到老师强调高考不能写矩阵，就开始计算。

显然我们可以令 $f_0=-1$

把方程变一下：$f_i = 2f_{i-1} - f_{i-2}$

构造 OGF令：$F(z) = \sum\limits_{n\ge0}f_nz^n$

$F(z) = f_0z^0 + f_1z^1 + f_2z^2 + \cdots$

$2zF(z) = \;\;\;\;\;\;2f_0z^1 + 2f_1z^2 + \cdots$

$-z^2F(z) = \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-f_0z^2 + \cdots$

$2zF(z)-z^2F(z)+3z-1 = F(z)$

$F(z)=\dfrac{3z-1}{1+z^2-2z}$

为了快点写完作业，就直接wolframalpha，就得到了

$[z^n]F(z)=(2n-1)$

看着这么简洁的式子，我突然想起来这好像一步就能出结果，直接等差中项的基本性质就出来了啊。