很多题解二分没有说明答案上界。下证一个上界是 $n^2 + n$。

考虑某种合法方案中，同一根柱子里从下到上每个分割点处两个球的数字和构成的序列。这个序列中所有元素都是完全平方数，且严格递增。考虑到 $n^2 + n + 1\le n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2$，所以在放置第 $n^2 + n + 1$ 个球的时刻，这个序列的长度至多是 $n$，那么每根柱子的球数都不能超过 $n + 1$，则总共可以放置的球数是 $n^2 + n$。然而球是连续放置的，所以矛盾，那么第 $n^2 + n + 1$ 个球不能放下。于是答案上界得证。