考虑如下数论函数： $f(p^k) = (p^k+1)$，且f是积性函数。

考虑$\mu \ast f(p^k)$,由狄利克雷卷积的定义，有

$\mu \ast f(p^k) = \sum \limits_{d|n}f(d)\mu(\frac{n}{d})$

$=\sum\limits_{i=0}^{k}\mu(p^{k-i})f(p^i)$

$=\sum\limits_{i=0}^{k}\mu(p^{k-i})(p^i + 1)$

由于$\mu(p^k)=0(k \ge 2)$，上式等于 $\mu(p)(p^{k-1}+1)+(p^k+1)$

$=p^k+1-(p^{k-1}+1)$

$=p^k-p^{k-1}$

$=\varphi(p^k)$

于是讲一个数质因数分解后在乘回来，根据积性函数的性质，有

$\mu \ast f(n)=\varphi(n)$

同时卷上$\bold1$有： $\mu \ast f(n) \ast \bold1=\varphi(n) \ast \bold1$

于是$f(n)=\mathrm {Id}(n)$，矛盾了。

求助谷内大佬，哪里搞错了？