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对于正整数 $n$ 和正整数 $a_1,a_2\dots a_n$，设 $b_0 = n$ 且 $b_i = \left\lfloor \dfrac{b_{i-1}}{a_i} \right\rfloor \, (i > 0)$ ，是否有 $b_n = \left\lfloor \dfrac{n}{\prod_{i=1}^n a_i} \right\rfloor$？还是此命题对于部分 $n$ 成立？

求结论与证明，谢谢。