我们以 $N=4$ 为例。

ll Pollard_Rho(ll N) {
  ll c = rand() % (N - 1) + 1;
  ll t = f(0, c, N);
  ll r = f(f(0, c, N), c, N);
  while (t != r) {
    ll d = gcd(abs(t - r), N);
    if (d > 1) return d;
    t = f(t, c, N);
    r = f(f(r, c, N), c, N);
  }
  return N;
}

如果 $c=1$，那么我们的 $x$：

$0\to 1\to 2\to 1\to 2\to…$

$|t-r|$ 一定是 $0$ 或 $1$

如果 $c=2$，那么我们的 $x$：

$0\to 2\to 2\to 2\to 2\to…$

$|t-r|$ 一定是 $2-2=0$

如果 $c=3$，那么我们的 $x$：

$0\to 3\to 0\to 3\to 0\to …$

$|t-r|$ 一定是 $0$ 或 $3$

所以我们跑多少次都跑不出结果，陷入死循环。

如果我理解有误，请指出，谢谢。