已知两个多项式 $A=x^2+7x+2$，$B=x^2+5x+3$。

证明：若$x$为非$0$整数，且$\frac{A-2}{B-3}$为整数，则满足条件的$x$值的和为$20$

蒟蒻将其证伪了：

首先，我们计算 $\frac{A-2}{B-3}$：

$$\frac{A-2}{B-3} = \frac{(x^2+7x+2) - 2}{(x^2+5x+3) - 3} = \frac{x^2+7x}{x^2+5x}$$

式子可以进一步化简：

$$\frac{x^2+7x}{x^2+5x}=1+\frac{2x}{x^2+5x}$$

计算 $\frac{A-2}{B-3}$：

$$\frac{A-2}{B-3} = \frac{(x^2+7x+2) - 2}{(x^2+5x+3) - 3} = \frac{x^2+7x}{x^2+5x}$$

对于给定的式子 $1+\frac{2x}{x^2+5x}$，我们需要判断是否存在满足条件的 $x$ 值，使得该式子为整数。

我们注意到分式 $\frac{2x}{x^2+5x}$ 的分母可以因式分解为 $x(x+5)$。因此，我们可以将分式改写为：

$$\frac{2x}{x^2+5x} = \frac{2x}{x(x+5)} = \frac{2}{x+5}$$

要使 $1+\frac{2x}{x^2+5x}$ 为整数，分子 $2$ 必须是分母 $x+5$ 的倍数。也就是说，$x+5$ 必须能够整除 $2$。

我们知道 $2$ 是一个常数，它只有两个因数：$1$ 和 $2$。因此，$x+5$ 只能等于 $1$ 或 $2$。

当 $x+5=1$ 时，解方程可得 $x=-4$。 当 $x+5=2$ 时，解方程可得 $x=-3$。

综上所述，满足条件的 $x$ 值为 $-4$ 和 $-3$。根据题目要求，我们需要计算这些满足条件的 $x$ 值的和：

$$-4 + (-3) = -7$$

因此，满足条件的 $x$ 值的和为 $-7$。