关于 Binomial Sum 为什么不能直接用 F 计算的疑问
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  • 发布时间2023/7/5 20:55
  • 上次更新2023/11/3 11:25:44
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关于 Binomial Sum 为什么不能直接用 F 计算的疑问
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max67楼主2023/7/5 20:55

详见 EI 博客。

设我们要求

∑i=0nai[xi]F(G(x))\sum_{i=0}^{n}a_i[x^i]F(G(x))

我们的做法实际上是找到一个

f(x+G(0))=F(x+G(0))(modxn+1)f(x+G(0))=F(x+G(0)) \pmod {x^{n+1}}

然后通过 FF 的微分方程求出 f(x+G(0))f(x+G(0)) 的递推式，即

F(x+G(0))=∑i=0npixiF(x+G(0))=\sum_{i=0}^{n}p_ix_i

然后再通过

f(G(x))=f(G(x)−G(0)+G(0))=∑i=0npi(G(x)−G(0))if(G(x))=f(G(x)-G(0)+G(0))=\sum_{i=0}^{n}p_i(G(x)-G(0))^i

暴力带入 G(x)−G(0)G(x)-G(0) 进行计算求出 [x0][x^0] 到 [xn][x^{n}]。

既然 f(x+G(0))f(x+G(0)) 与 F(x+G(0))F(x+G(0)) 前 n+1n+1 项相等，那我为什么不直接用 FF 的微分方程求出 FF 的递推式然后直接计算呢？是 FF 的项数为无限吗？可是我只需要通过连续一段靠前的特殊值递推。是特殊值不好算吗？可是既然能算出 f(x+G(0))f(x+G(0)) 的特殊值，那为什么不能推出 F(x+G(0))F(x+G(0)) 的特殊值呢？并且求出 ff 的微分方程还需要额外补充微分方程的误差项。

这有什么大问题吗？不是很懂，求大佬教教。\bx\bx

2023/7/5 20:55