$d\left( ij\right) =\sum _{ x| i}\sum _{ y|j}[ \gcd \left( x,y\right)=1]$

对于这个结论，楼上有位大佬给出这样的证明

请问这位大佬在证明对于不同的互质数对，它们贡献的数不同中的这一步：

$gcd \left( x_{1},x_{2}\right) \geq x_{2} >1$，矛盾。

这一步是什么意思，为什么要求$gcd \left( x_{1},x_{2}\right)$？