设整数 $n\ge 2$，集合 $S=\{1,2,\dots,n\}$，$f$ 是 $S$ 到自身的双射，定义集合 $A,B,C,D$ 为

$$A=\{i\in S|i>f(i)\},$$ $$B=\{(i,j)\in S^2|i<j\le f(j)<f(i)\text{或}f(j)<f(i)<i<j\},$$ $$C=\{(i,j)\in S^2|i<j\le f(i)<f(j)\text{或}f(i)<f(j)<i<j\},$$ $$D=\{(i,j)\in S^2|i<j,f(i)>f(j)\}$$

求证：$|A|+2|B|+|C|=|D|$。

目前只有一种不断交换满足 $f(i)>f(i+1)$，然后分五类证明每次两边减少 $1$ 的做法，希望有一个更直观明确的以及指出这玩意本质是什么东西的做法。