一种药在病人血液里不低于$2$g时，他才能起到有效治疗的作用，已知每服用 $m$ $(1\le m \le12$)药剂在血液中的含量 $y$(克）随时间 $x$ 的变化的函数关系式近似为$y=\frac{m}{3} \cdot f(x)$ ，其中：

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{10}{4+x} ( {\scriptsize 0\le x<6 } )\\ 4-\frac{x}{2} ({\scriptsize 6\le x\le8 }) \end{matrix}\right.$

若病人第一次服用$6$克,$6$小时后再次服用$3m$克的药剂，要使接下来$2$小时能够有效治疗，试求$m$的最小值