在本帖中，您可以回复以下内容：

• 给出 $[1,n]$ 中 powerful number 数量为 $O(\sqrt n)$ 的证明（不用微积分，我看不懂微积分）

• 找出下述证明 $[1,n]$ 中 poewrful number 数量的 bug

注：仅是估算，每个等号之间会有误差

数量大约等于 $\sum_{i=1}^{\sqrt[3]{n}} \sqrt{\frac{n}{i}}$ $=\sqrt n\times \sum_{i=1}^{\sqrt[3]{n}} \sqrt{\frac{1}{i}}$

考虑 $d^2>=i$ 且 $(d-1)^2<i$ 的 $d$，对于每个 $d$ 有 $2d-1$ 个（缺少的的粗略计算补全，影响不计）

$=\sqrt n\times \sum_{d=1}^{\sqrt[6]{n}} \frac{2d-1}{d}$ $=\sqrt n\times \sum_{d=1}^{\sqrt[6]{n}}2-\frac{1}{d}$

$=O(n^{\frac{2}{3}})$

感谢各位神犇对小蒟蒻讲解