有一份题解提出了为什么用$2\pi-$最初选的两个角

• 原理应该是，取的三个角必须覆盖整个圆， 按照正确的思路，应该是(下边加了*的角代表取了$>180$度的那个角)：$\gcd(\angle AOC,\angle BOC,\angle AOB*)$

下面证明一个东西：先取$\angle AOB,\angle AOC$做$\gcd$和先取$\angle COB,\angle AOC$做$\gcd$是一样的: $\gcd(\angle AOB,\angle AOC) = \gcd(\angle AOC+COB,\angle AOC) = \gcd(\angle COB,\angle AOC)$

如果一开始取的两个角不重叠，肯定能得到正确的答案。如果重叠呢？

我们只需要证明，一开始取的两个角是重叠的时候，第一次的$\gcd$得到的结果和 ($2\pi$ - 第一次取的两个角)做$\gcd$ 和 $\angle AOB*$做$\gcd$是一样的就可以证明是正确答案了。

证明： 然后如果一开始取的角是两个重叠的， 比如角$\angle AOB$和$\angle AOC$，那么你得到的第一次$\gcd$肯定是$\angle AOC$， 这时候再和$\angle BOC'$(2$\pi$ - 第一次取的两个角)做$\gcd$的式子就是： $gcd(\angle AOC,\angle BOC') = gcd(\angle AOC,\angle BOA* - \angle AOC') = gcd(\angle AOC,\angle BOA*-\angle AOC) = gcd(\angle AOC,\angle BOA*)$ $C'$为$C$关于$AB$对称的点