@feecle6418 的题解声称：

只要不存在两层之间全部方向相同，就一定互相可达。

实际上这是错误的。一个反例：

可以看到每两层之间的边方向都并不全部相同，然而第二行第二个点没有办法到达其他任何点。

但回到这题，答案确实是 $\min\{p+q,n\}$ 没错。

证明大概考虑 2、3 这两侧从外往里数第 $p+1$ 条路，这两条路一定有一条和对应侧的最外层路方向不同，在另一侧上翻转最外层路的 $p$ 条边。对于 1、2 两个方向也做类似的事情，然后分类讨论。完整证明改天再补。