这里以第一篇题解为例补充说明。

第一篇题解代码里求的那个东西，也就是：

			if(dis[v]==dis[u]+e[i].w) cnt[v]++;
			if(dis[v]>dis[u]+e[i].w){
				dis[v]=dis[u]+e[i].w;
				cnt[v]=1;
				q.push(make_pair(dis[v],v));
			}

实际上 cnt[u] 并不是 $1$ 到 $u$ 的最短路径数量，而是满足 $1 \rightsquigarrow v \to u$ 为一条最短路径的点 $v$ 的数量。上面这个路径 $1 \rightsquigarrow v$ 通过多条边（可以是一条甚至是零条）的路径到达，$v \to u$ 通过一条边直接到达。

如果想要统计 $1 \rightsquigarrow u$ 的最短路径数量，正确的写法是这样的。

			if(dis[v]==dis[u]+e[i].w) cnt[v]+=cnt[u];
			if(dis[v]>dis[u]+e[i].w){
				dis[v]=dis[u]+e[i].w;
				cnt[v]=cnt[u];
				q.push(make_pair(dis[v],v));
			}

事实上，最短路径数量和“点 $v$ 数量”在本题中判断都无问题。

考虑最短路径数量 $>1$ 的情况，如果有一条最短路径经过特殊边，那么第二条最短路径肯定是不经过特殊边的，因为这题里边权都是正的，经过一条特殊边之后权值就已经到了最短路，不能再走多余的路了。

而满足 $1 \rightsquigarrow v \to u$ 为一条最短路径的点 $v$ 的数量如果 $> 1$，意味着合法的点 $v$ 除了点 $1$ 以外必然有一个其它点，经过这个点的那条最短路径一定不经过特殊边。

但是，最短路径数量有一个问题：上界可以很大。即使不允许重边，也能构造出这么一个东西：

$1 \rightsquigarrow 4$ 有两条最短路径，$4 \rightsquigarrow 7$ 有两条最短路径，$7 \rightsquigarrow 10$ 有两条最短路径，$10 \rightsquigarrow 13$ 有两条最短路径，$13 \rightsquigarrow 16$ 有两条最短路径，所以 $1 \rightsquigarrow 16$ 的最短路径数量是 $2^5 = 32$。

这个增长速度是指数爆炸的，只要我们再接着接下去，大概达到的最短路径数量上界是 $2^{n / 3}$。如果想要直接统计出这样的数量，高精度是无可避免的。

所以本题直接统计最短路径数量再判断是不太合理的。一种处理方式是采用上面的“点 $v$ 数量”策略，还有一种处理方式是，我们并不关心最短路径数量的具体值，只关心最短路径数量是否 $>2$，因此等到最短路径数量 $=2$ 之后不让它再加下去就可以了。