欲证$\displaystyle d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]$.

记一个数对$(x,y)$贡献的是$\displaystyle x\times\frac{j}{y}$这个因数。

先证若$(x,y)=g\neq 1$则必然算重：$\displaystyle x\times\frac{j}{y}=gx'\times\frac{j}{gy'}=x'\times\frac{j}{y'}$，即$(x',y')=1$时贡献了相同的数。

再证对于不同的互质数对，它们贡献的数不同。

设对于互质数对$(x_1,y_1),(x_2,y_2),x_1>x_2$有$\displaystyle\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$，则$\displaystyle\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=k$，其中$k$是一个正整数。而$gcd(x_1,x_2)\geq x_2>1$，矛盾。故原命题成立。