赛时想出这五条性质，求 dalao 验证或证伪。 设矩阵 $M_{i,j}$ 代表初始序列是 ${\rm id}= (1,2,3,\dots,\infty)$，运行 ${\rm shuffle}(1,i+1)$ 后的第 $j$ 项。

则有五条性质：

1. 每一列都是循环的
2. 第 $n$ 列的循环节长度为 $2^{\left\lfloor\log_2 n\right\rfloor + 1}$。($n=1$ 除外)
3. 第 $n$ 列循环节的前 $n-2$ 个数都是 $n$。
4. 考虑 $n$ 满足 $n \bmod 4 \ne 1$，设 $A$ 是第 $n$ 列的循环节，$A_0$ 是其去掉前 $n-2$ 个数的结果；$B$ 是第 $(n-1) \bmod 4 + 1$ 列的循环节，$B_0$ 是其取消前 $(n-1)\bmod 4-1$ 个数的结果，令 $k = n - n \bmod 4$，设 $C_i = A_0[i] - k$，则有 $B_0$ 重复 $\dfrac k4$ 遍可以得到 $C$。
5. 考虑 $n$ 满足 $n \equiv 1 \pmod 4$，则循环节的前 $n-2$ 项是 $n$，$n-1$ 和 $2^{\left\lfloor\log_2 n\right\rfloor + 1}$ 项是 $n-2$，剩余都是 $n+1$。（$n=1$ 除外）

求验证