关于有限微积分的一点小问题
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  • 发布时间2022/6/15 21:04
  • 上次更新2023/10/27 23:15:11
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关于有限微积分的一点小问题
208881
Bitter_楼主2022/6/15 21:04

如题，刚刚试着推具体数学中给出的

∑i=1nHi=nHn−n\sum_{i = 1} ^ n H_i = nH_n - n

这个柿子。下面是过程：

∑i=1n−1Hi=∑0nHxδx\sum_{i = 1} ^ {n - 1} H_i = \sum_0^n H_x\delta x

试图构造函数 f(x)f(x) 满足 Δf(x)=f(x+1)−f(x)=Hx\Delta f(x) = f(x+1)-f(x) = H_x

则构造 f(x)=xHx−1−xf(x) = xH_{x - 1} - x

那么其差分

f(x+1)−f(x)=(x+1)Hx−x−1−xHx−1+xf(x+1)-f(x) = (x+1)H_x - x - 1 - xH_{x - 1} + x

也就是 HxH_x

那么原式可以写成

∑0nΔ(xHx−1−x)δx\sum_0^n \Delta(xH_{x - 1} - x)\delta x

那么可以得到其值为

nHn−1−nnH_{n - 1} - n

与原式似乎恰好差了1……蒟蒻没看懂这个 11 差在哪里 求助/kel

2022/6/15 21:04