$\sum_{n=1}^\infty \dfrac {\sin nx}{2^n}$

这个函数项级数显然是收敛的，证明如下：

令 $u_n(x)$ 表示该级数一般项，对任意正整数 $p$：

$|u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}|\le|u_{n+1}|+\cdots+|u_{n+p}|$

$=\dfrac{|\sin(n+1)x|}{2^{n+1}}+\cdots+\dfrac{|\sin(n+p)x|}{2^{n+p}}$

$\le \dfrac 1 {2^{n+1}}+\cdots+\dfrac 1 {2^{n+p}}$

$<\dfrac 1 {2^n}$

因此 $\forall\epsilon>0$，取正整数 $N$ 使 $\dfrac 1 {2^N}\le\epsilon$ 即 $N\ge-\log_2\epsilon$

当 $n>N$ 时，对于任意的正整数 $p$，都有 $|s_{n+p}-s_n|<\dfrac 1 {2^n}<\epsilon$

由柯西审敛原理，上述级数收敛。

试图用傅里叶级数求和函数失败 mma 给出的答案是个复变函数

求dalao帮看看这个级数的和函数怎么求 或者说有无可能求出来一个好看的形式