印象中瑕积分收敛的基本判定是，对于反常积分 $\int_a^bf(x)dx$，如果被积函数 $f(x)$ 有瑕点 $x=c\in(a,b)$，那么这一反常积分收敛的充要条件是 $\int_a^cf(x)dx$ 和 $\int _c^bf(x)dx$ 都收敛。

但是昨天闲来无事考虑如下积分

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cot xdx$

显然被积函数的瑕点是 $x=0$，并且原函数 $\ln|\sin x|$ 在 $x=0$ 处的左右极限均不存在，因此原反常积分应该发散。

并且按照比较审敛法，有

$\lim_{x\to0^-} (x-0)\cot x=\lim_{x\to0^-}\dfrac{x}{\tan x}=1$ $\lim_{x\to0^+} (x-0)\cot x=\lim_{x\to0^+}\dfrac{x}{\tan x}=1$

因此原反常积分发散。

但是从奇函数的角度和定积分的几何意义看这个积分的值大概也许是 $0$？

不太明白这是怎么回事，希望数学大佬教我qwq