对于 $x^2\sin\frac{1}{x}$ 和 $x^2\sin\frac{1}{x}$，由于有：

$\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x^2\sin\frac{1}{x}}$

这个极限不存在，因无论给出什么样的正数 $\delta$，当 $0<\left|x\right|<\delta$ 时，分母 $x^2\sin\frac{1}{x}$ 总会有取值为 $0$ 的 $x$（点 $x=0$ 是 $\sin\frac{1}{x}$ 的震荡间断点），从而总会导致 $\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x^2\sin\frac{1}{x}}$ 有时无意义，所以极限不存在。这表明在 $x\to 0$ 时 $x^2\sin\frac{1}{x}$ 和 $x^2\sin\frac{1}{x}$ 不是等价无穷小。

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