关于不需枚举断点的证明
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关于不需枚举断点的证明
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helium347楼主2022/2/19 15:58

题解里似乎很少有人清晰地证明不需要枚举断点,我来这里说一说?


考察 [l, r] 时,有两种决策:

  • 枚举断点
  • 只研究端点(贪心)

显然前者包含后者,而这道题贪心有效,不需要枚举断点。


前提:

- 去重,相邻数据不相同
- 按区间长递增顺序递推保证了无后效性

证明:

假设 [l, k - 1], [k + 1, r] 已划分完毕,研究第 k 个点先划入左边还是右边能使代价更小 。现在分类讨论 [l, k - 1], [k + 1, r], [k, k] 三个区间的颜色:

1. 当三者相等时,代价为 0
2. 当**只有**两者相等时,最小合并代价为 1
3. 当互不相等时,最小合并代价为 2

去重保证了第一种情况不存在

只研究端点对应第二种情况

枚举断点是判断所有情况

显然,枚举断点的结果不可能比研究端点更优

2022/2/19 15:58
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