求证：∑k=1∞1xk=1x−1\sum\limits_{k=1}^∞\dfrac{1}{x^k}=\dfrac{1}{x-1}k=1∑∞xk1=x−11
证明：
设S=∑k=1∞1xkS=\sum\limits_{k=1}^∞\dfrac{1}{x^k}S=k=1∑∞xk1，则：
xS=∑k=1∞1xk−1xS=\sum\limits_{k=1}^∞\dfrac{1}{x^{k-1}}xS=k=1∑∞xk−11
则： xS−S=∑k=1∞1xk−1−∑k=1∞1xk→1xS-S=\sum\limits_{k=1}^∞\dfrac{1}{x^{k-1}}-\sum\limits_{k=1}^∞\dfrac{1}{x^k}\rightarrow1xS−S=k=1∑∞xk−11−k=1∑∞xk1→1
即 (x−1)S=1(x-1)S=1(x−1)S=1，得S=1x−1S=\dfrac{1}{x-1}S=x−11.
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