第二章习题的2.27：（P54）

计算 $\Delta(c^{\underline x})$，并用它来推导 $\sum_{k=1}^n(-2)^{\underline k}/k$ 的值

答案我看懂了，下面是我的方法：（分部求和法）

首先可以求出：

$$\Delta (c^{\underline x})=c(c-1)(c-2)\cdots(c-x)-c(c-1)\cdots(c-x+1)=c^{\underline x}(c-x-1)=\frac{c^{\underline {x+2}}}{c-x}$$

因此有

$$\Delta (c^{\underline {x-2}})=\frac{c^{\underline x}}{c-x+2}$$ $$\sum c^{\underline x}=c^{\underline {x-2}}(c-x+2)+C$$

尝试一下分部求和法：

设 $f(x)=(x-1)^{\underline {-1}},\Delta g(x)=(-2)^{\underline x}$

可得 $\Delta f(x)=-(x-1)^{\underline {-2}},g(x)=(-2)^{\underline {x-2}}(-x)$

$$\begin{aligned} \sum f(x)\Delta g(x)\delta x&=f(x)g(x)-\sum g(x+1)\Delta f(x)\delta x\\ &=\frac{1}{x}(-x(-2)^{\underline {x-2}})-\sum (-2)^{\underline {x-1}}(-x-1)\frac{-1}{x(x+1)}\delta x\\ &=-(-2)^{\underline {x-2}}-\sum(-2)(-3)\cdots(-2-x+1+1)\frac{1}{x}\delta x\\ &=-(-2)^{\underline {x-2}}+\sum(-2)^{\underline {x-2}}\delta x\\ &=-(-2)^{\underline {x-2}}+(-2)^{\underline {x-4}}(2-x)+C\\ \sum_{1\leq k\leq n}&=\sum\nolimits_{1}^{n+1}f(x)\Delta g(x)\delta x\\ &=-(-2)^{\underline {x-2}}+(-2)^{\underline {x-4}}(2-x)+C\Big|_1^{n+1}\\ &=-(-2)^{\underline {n-1}}+(-2)^{\underline {n-3}}(1-n)-1\\ &=-(-2)(-3)\cdots (-n)+(-2)(-3)\cdots(2-n)(1-n)-1\\ &=(-1)^n n!+(-1)^{n-2}(n-1)!-1 \end{aligned}$$

但是到最后比答案多出来了中间那一项，怀疑是最后分部求和的问题，但是看了半个多小时没找出来，因此向各位大佬求助qwq。