RT。

下午有个同学提出一个猜想：对于任意大于 $2$ 的自然数 $x$，都有 $x^{x+1}>(x+1)^x$。

感觉好像不难，就花了十五分钟简单证明了一下这个猜想的弱化版：当 $x$ 足够大时，定有 $x^{x+1}>(x+1)^x$。

证明

但是，这毕竟只是弱化版。现在自己有两个思路。

1. 证明中提到“如果 $x > ( \frac{x+1}{x})^x$，则$x^{x+1} > (x+1) ^ x$”。那么，如果 $\underset{x \rightarrow + \infty}{\overset{x=3}{\max}} ( \frac{x+1}{x})^x < 3$ 的话，很容易就能证明原猜想了。

2. 因为当 $x = 3$ 时，$(\frac{x+1}{x})^x=(\frac{3+1}{3})^2=(\frac{4}{3})^3=\frac{64}{27}$，所以如果我们能证明当自然数 $x$ 大于 $2$ 时，有 $(\frac{x+1}{x})^x>(\frac{x+2}{x+1})^{x+1}$，那么我们就能用数学归纳法证明 $\underset{x \rightarrow + \infty}{\overset{x=3}{\max}} ( \frac{x+1}{x})^x = \frac{64}{27} <3$，就很容易能证明原猜想了。

所以现在有两个问题，只要解决其中一个就能证明原猜想：

1. 证明 $\underset{x \rightarrow + \infty}{\overset{x=3}{\max}} < 3$；

2. 证明当自然数 $x$ 大于 $2$ 时，有 $(\frac{x+1}{x})^x>(\frac{x+2}{x+1})^{x+1}$。

麻烦各位大佬了！

另：

1. 萌新刚学数学，数学符号用错或证明不严谨请告诉我。

2. 这个猜想百度上应该有证明，但我只差最后一步了，所以发帖求问。如果各位大佬觉得不满意，请轻喷。

谢谢了！