注：我也不知道我的证明方法对不对，但是可以做一个感性理解。

考虑一个 $(n-2)!$ 长度的 $\texttt{Prufer}$ 序列可以刻画一个大小为 $n$ 的二叉树。

不妨把左右子树的划分想象成在序列中画一条竖线将它们分割成两个部分，左边为左子树，右边为右子树，不难发现竖线的位置并不影响序列的排列。

所以每种叶子节点的分配的概率都是一样的，可以除 $i-1$