前言

自己YY的，感觉挺好理解的

直奔主题，证明三者中任意两者相加都能构成单峰函数

当 $M$ 给定时， 我们来看 $\frac{MN}{q}+\frac{NM}{m}$ 存在怎么样的性质。

我们坐标表示：

$M:(E,F)$

$N:(A,B)$

$D:(C,D)$

根据欧几里得距离公式我们可以写出一个优美的二元二次方程，显然从方程中看不出单峰的性质，因为它是一个园。

我们只需要保证点与点之间的距离不变，那么最小值也就不会变。这启发我们更新坐标。

我们的目的是证明出$\frac{MN}{q}+\frac{NM}{m}$是一个单峰函数，那么我将坐标变化成理想状态，并保证点点之间距离不变，那么答案不会影响。因此我们希望将 $N$ 和 $D$ 的$x$ 或者 $y$ 相同。所以旋转坐标系，如下图

那么他们的坐标就变成：

$M:(E,F)$

$N:(A,D)$

$D:(C,D)$

可以发现 $N,D$ 纵坐标 $y$ 相同，设 $f(M)$ 为当 $M$ 点坐标 为$(E，F)$ 时的最小值，我们将柿子列出来

$E,F,D$ 是常量，那么柿子只有 $A$ 一个变量，那么就变成一个抛物线问题，显然是一个单峰函数。

我们再考虑 $M$ 是变量的时候。

同理，$E，F$ 成为了变量，需要证明的是 $f(M)+\frac{AM}{P}$ 是单峰函数。

$f(M)$已经知道了，只求 $\frac{AM}{P}$就好了, 即存在 $E,F$ 两个变量，我们依旧用坐标变换，将 $F$ 消去，原理和上面相同。这样只剩下 $E$ 一个变量，又是一个单峰函数抛物线。

所以才有了三分套三分的做法。因为例外都是单峰函数