我们发现在对 subproduct tree 进行操作时，比如说 $ax+by$ 其中 $x$ 和 $y$ 是当前节点的左右孩子的多项式，我们要做两次乘法和一次加法，如果之前做过 $\operatorname{DFT} _ n(x)$ 和 $\operatorname{DFT} _ n(y)$ 那么这次是要求 $\operatorname{DFT} _ {2n}(x)$ 和 $\operatorname{DFT} _ {2n}(y)$ 可以应用将 DFT 长度翻倍的算法，也就是其中一半是之前就算好的，而 IDFT 也只需一次。不如直接维护 DFT 的形式而不是系数的形式，这样可以减少很多常数。应该是很基础的一种常数优化方法。。