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这是一份01背包模板

for(int i=0; i<n; ++i){
	scanf("%d%d",&v,&w);
	for(int j=V; j>=v; --j)
		dp[j]=std::max(dp[j],dp[j-v]+w);
}

其中 $dp[k,w]$ 应该表示前 $k$ 个物品填满 $w$ 的空间所获得的最大收益（第一维已滚掉，以下的 $dp$ 数组都为滚掉后的），所以答案应该取 $max(dp[1 \sim V])$（$V$ 为背包容量）。

但是，我直接使用了 $dp[V]$ 作为答案，通过了众多背包板子题： P1048 P1616 P1776 P1855 。

有的dalao说我能过是因为数据水，直接取 $dp[V]$ 可能被卡，且lyd的蓝书也取了 $max(dp[1 \sim V])$。

所以，直接取 $dp[V]$ 是正确的吗？如果是正确有没有证明？如果错误可不可以给出一个hack数据？