求助推柿子
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  • 楼主Zxc200611
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  • 发布时间2021/1/22 19:32
  • 上次更新2023/11/5 04:32:46
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求助推柿子
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Zxc200611楼主2021/1/22 19:32

在某数论题中，本蒟蒻推了一下下面的柿子：

∑i1=1m∑i2=1m⋯∑in=1mgcd⁡(i1,i2,…in)=∑d=1m∑j1=1⌊md⌋∑j2=1⌊md⌋⋯∑jn=1⌊md⌋[gcd⁡(j1,j2…jn)=1]d=∑d=1m∑j1=1⌊md⌋∑j2=1⌊md⌋⋯∑jn=1⌊md⌋d×∑x∣gcd⁡(j1,j2…jn)μ(x)=∑d=1m⌊md⌋nd×∑x∣gcd⁡(j1,j2…jn)μ(x)=∑d=1m∑k=1⌊md⌋∑x∣kd×⌊mdk⌋n×μ(x)=∑d=1md×∑k=1⌊md⌋(⌊mdk⌋)n×[k=1]=∑d=1md×⌊md⌋n\begin{aligned} &\sum _{i_1=1}^m \sum_{i_2=1}^m \cdots \sum_{i_n=1}^m \gcd(i_1,i_2,\dots i_n) \\ &=\sum _{d=1}^m \sum _{j_1=1} ^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor } \sum _{j_2=1} ^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor } \cdots \sum _{j_n=1} ^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor } [\gcd(j_1,j_2 \dots j_n)=1] d \\ &=\sum _{d=1}^m \sum _{j_1=1} ^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor } \sum _{j_2=1} ^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor } \cdots \sum _{j_n=1} ^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor } d \times \sum _{x|\gcd(j_1,j_2 \dots j_n)} \mu(x) \\ &=\sum _{d=1}^m \left \lfloor \dfrac{m}{d} \right \rfloor ^n d \times \sum _{x|\gcd(j_1,j_2 \dots j_n)} \mu(x) \\ &=\sum _{d=1}^m \sum _{k=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor} \sum _{x|k} d \times \left \lfloor \dfrac{m}{dk} \right \rfloor ^n \times \mu(x) \\ &= \sum _{d=1} ^{m} d \times \sum _{k=1} ^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor} \left(\left \lfloor \frac{m}{dk} \right \rfloor \right) ^n \times [k=1] \\ &=\sum _{d=1}^m d \times \left \lfloor \dfrac{m}{d} \right \rfloor ^n \end{aligned}

但是它锅了。

求帮忙找错。

2021/1/22 19:32