在 $1,2,\dots,99$ 中选择两两不同的 $2n$ 个数，使得存在一种方式将其分为 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots,b_n$，且 $1\le a_i+b_i\le 99$，$a_i+b_i\ne a_j+b_j$。求 $n_{max}$。

已经构造出了 $n=37$ 的方案。答案应该不超过 $40$。