排列 $a$ 个元素，指定其中 $b$ 对不能相邻，咋算？

是我破解手机密码的时候想出来的问题
给定 $n*n$ 的矩阵，在其中有 $m$ 个点上发现了指纹（就是说密码由这 $m$ 个点相互连接构成），但是当连接两点的线段上有别的点时，就不允许连接它们（比如 $(0,0)$ 和 $(0,2)$ 之间有 $(0,1)$，$1,1$ 和 $(5,3)$ 之间有 $(3,2)$），求可能的密码数？

我的思路是对于 $P(x_1,x_2)$ 和 $Q(x_2,y_2)$ 若 $\text{gcd}(|x_1-x_2|, |y_1-y_2|) \neq 1$ 则它们不能连接，于是就转化成了那个排列问题

• 求解那个排列问题
• 我的思路是对的吗？
• 如果允许“挡”的情况：如果两点连线上有其他点，但已被使用，那么可以连接。——这个题目有什么好的做法？