设 $A,B$ 是椭圆长轴上的两个端点，过 $A$作椭圆的切线 $l$ ，在 $l$ 上任取一点 $P$ ，自 $P$ 作椭圆的切线 $PC$ ，其中 $C$ 为切点，$CD\perp AB$ 于点 $D$.证明：线段 $PB$ 过 $CD$ 的中点。

$\text{my solution:}$

设椭圆方程：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$

$\therefore A(-a,0),B(a,0)$

设$C(a\sin\theta,b\cos\theta),P(-a,p)$

根据圆锥曲线的切点弦方程：$\dfrac{-a^2\sin\theta}{a^2}+\dfrac{pb\cos\theta}{b^2}=1$

即$\dfrac{p\cos\theta}{b}-\sin\theta=1,p\cos\theta-b\sin\theta=b$

$CH\perp AB$于$H$，$CH$中点为$O$。

$\therefore H(a\sin\theta,0),O(a\sin\theta,\dfrac{b\cos\theta}{2})$

$k_{PO}=\dfrac{-a-a\sin\theta}{p-\frac{b\cos\theta}{2}},k_{OB}=\dfrac{a\sin\theta-a}{\frac{b\cos\theta}{2}}$

$P,O,B$三点共线

$\iff \dfrac{-a-a\sin\theta}{p-\frac{b\cos\theta}{2}}=\dfrac{a\sin\theta-a}{\frac{b\cos\theta}{2}}$

$\iff p(1-\sin\theta)=b\cos\theta$

但是此式并不能由$p\cos\theta-b\sin\theta=b$推导出来！

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