使用到老师给我们的一个辅助函数：

$$g_k=\sum_{s\subseteq [1..n] \wedge \#s=k}{\prod_{i\in s}{a_i}}$$

然后得到两个关系的思路。

一个是直接计算可以得到：

$$f_i = \sum_{j = 1}^{i}(-1)^{j + 1}g_jf_{i - j}\\ g_i = \sum_{j = 1}^{i}(-1)^{j + 1}f_jg_{i - j}$$

但是发现上面的式子只能在奇数时解出$f_i - g_j$在偶数时解出$f_i + g_i$

于是我又推出来一个($S$为$\sum a_i$)：

$$g_i = S^i - \sum_{j = 2}^if_jg_{i - j}[j mod\ 2 = 0]$$

发现在偶数的时候还是只能解出来$f_i + g_j$。

我似乎没有别的思路得到新的式子了，所以发讨论区求助