已知 $a,b,c \in R$，且 $a + b + c = 0$，$abc = 1$，求证 $\max{\{a,b,c\}} \geq \sqrt[3]{4}$。

我的想法是：

设关于 $x$ 的方程 $bx ^ 2 + ax + c = 0$，由 $a + b + c = 0$ 得该方程至少存在一个解（即 $x = 1$），$\therefore \triangle(不知道怎么打那个符号) = a^2 - 4bc \geq 0$，即 $a^2 \geq 4bc$。

令 $a > 0$，则 $bc > 0$。$\because a + b + c = 0$，$\therefore b < 0,c < 0$，$\therefore a > \max{\{b,c\}}$，即 $a = \max{\{a,b,c\}}$。

$\because a^2 \geq 4bc$，$\therefore a^3 \geq 4abc = 4$，$\therefore a = \max{\{a,b,c\}} \geq \sqrt[3]{4}$。

但是这个做法感觉有点神金，想求助各位大佬看有没有正经点的思路（（（