小猴有 n 箱子，编号为 $1 ∼ n$，第 $i$ 个箱子中有 $a^i$ 枚金币。小猴需要按照箱子编号从小到大依次打开所有箱子，一个箱子都需要一把钥匙，现在有两种钥匙可以打开箱子： 一把好钥匙，需要花费 $k$ 枚金币； 一把坏钥匙，不需要花费任何金币，但是会将每个未打开的箱子中的金币减半，包括已将打开的箱子。例如，使用一把坏钥匙即将打开第 $i$ 个箱子，那么第

$i∼n$ 个箱子的金币都会减半，即 $\begin{bmatrix} a^i \\ 2 \end{bmatrix},a+i+1=$ $\begin{bmatrix} a^i +1 \\ 2 \end{bmatrix},……,a^i+2$ $\begin{bmatrix} a^i +2 \\ 2 \end{bmatrix}$ 一把钥匙只能用于一个箱子，不能重复使用。 小猴一共需要使用 $n$把钥匙，每个钥匙打开一个箱子。初始时，小猴没有金币，也没有钥匙，如果想要使用一把好钥匙打开箱子，就需要购买它。允许小猴当前所拥有的金币数量未负数，例如，小猴有 1 1 枚金币，可以买一把价值为 $k= 3$ 金币的好钥匙，那么小猴当前拥有的金币数量是

$−2。$ 请你帮助小猴计算，按照箱子编号从小到大依次打开所有箱子能获取的最大金币数量。