如图，$\angle AOB=90\degree,AO=BO=2$，圆$O$的半径为$1$，$P$为圆$O$上一点，过$P$做圆$O$的切线恰好平分$\angle APB$。求证：$AP\perp BP$。

目前最简单的证法： 如图作辅助线 $\because OP=OQ\therefore\angle BPO=\angle OQP=180\degree-\angle 1\because PT是圆O切线\therefore\angle BPT=90\degree-\angle BPO=\angle 1-90\degree\because PT平分\angle APB\therefore\angle APB=2\angle BPT=2\angle 1-180\degree\therefore\angle APO=\angle APB+\angle BPO=\angle 1又\because AO=BO,OP=OQ\therefore \triangle AOP全等于\triangle BOQ（SSA证明见下）\therefore\angle POQ=\angle AOP+\angle AOQ=\angle BOQ+\angle AOQ=\angle AOB=90\degree\therefore\angle BPO=45\degree\therefore\angle BPT=45\degree\therefore\angle APB=90\degree\therefore AP\perp BP.$

全等的证明：如图作辅助线，AAS易得 $\triangle NOQ全等于\triangle MOP$因此$NO=MO$，所以HL可得$\triangle AOM全等于\triangle BON$因此$\angle MAO=\angle NBO$最后AAS得$\triangle AOP全等于\triangle BOQ$

求更简单的方法