若一个排列是合法的，当且仅当其满足【某个条件】。给定 $n$，求有多少个合法的 $n$ 的排列。

更进一步地，确定排列的某些位置，求在此条件下有多少个合法的排列。

如何提高做出上述类型问题的概率？是否有一些套路或好用的方法？