新课标1卷，最后一题

我首先发现，四个数字的间隔相同，就一定能构成等差数列。我们可以将$a_1,a_2,a_{4m+2}$这个数列简化为$1,2,...,4m+2$。

第一小问，不难发现，六个数字丢掉两个，剩下的四个数字连在一起，就可以构成可分数列，可以删去前面两项$(i,j)=(1,2)$、删去最后两项$(i,j)=(5,6)$、或删去前后各一项$(i,j)=(1,6)$，得到答案。

首先在第$14$个以后的数字，每相邻$4$个数字分为一组，刚好可以分完。

前面$12$个数字，（$14$个删去$2$个）。我们是否可以先把它看成连续的$12$个数字，删去的是$a_1$和$a_{14}$，将数字间隔两个（这里$(i-j)\div4-1=2$）$a_2,a_5,a_8,a_{11}$分在A组，$a_3,a_6,a_9,a_{12}$分在B组，$a_4,a_7,a_{10},a_{13}$分在C组，如下表第二行。

但实际删去的是$a_2$和$a_{13}$，可以把$a_2$（第$2$个数字）挪到$a_{14}$（前$14=i-j+3$个数字中最后一个数字），把$a_{13}$（前$14$个数字中倒数第二个数字）挪到$a_1$（第$1$个数字），如下表第三行。

$a_1$	$a_2$	$a_3$	$a_4$	$a_5$	$a_6$	$a_7$	$a_8$	$a_9$	$a_{10}$	$a_{11}$	$a_{12}$	$a_{13}$	$a_{14}$
已删除	A	B	C	A	B	C	A	B	C	A	B	C	已删除
C	已删除	B	C	A	B	C	A	B	C	A	B	已删除	A

第三题有难度，我可是花了整整一个下午才做了出来。

从第二题不难发现，如果$a_i$左边、$a_i$到$a_j$中间、$a_j$右边的数字个数都是$4$的倍数（$i\mod4=1,j\mod4=2$），那么可以每相邻$4$个数一组，形成可分数列。

我们可以先计算出$m$为某一个数时构成可分数列的情况总数，再计算有多少种方法选择$i\space j$。

从第二题还可以发现，如果$a_i$左边的数字个数除以$4$余$1$，$a_i$到$a_j$中间的数字个数除以$4$余$2$，$a_j$右边的数字个数除以$4$余一，（$i\mod4=2,j\mod4=1$）。在这种情况下，将前后的数字每相邻$4$个分为一组，直到$i$左边和$j$右边各剩下一个数字，就得到了类似第二小问前$14$个数字的情况，不过，在$j-i<7$时无法构成可分数列，$j-i$变大时，挪动数字的方法任然有效。

我们很难直接计算出在$m$为一个值时，有多少种情况构成可分数列，那可不可以先算一算在$m$为一个数$y$时，比$m=y-1$时多出了多少种可分数列情况呢？

情况一$i\mod4=1,j\mod4=2$，多出$m+1$种可分数列情况。

▽$a_*,a_*,a_*,a_*$▽$a_*,a_*,a_*,a_*$▽$...$▽$a_*,a_*,a_*,a_*$▽▼

​ $a_j\space\space j=4m+2$

为了避免和以前的情况重复，$j$只能是$4m+2$（放在实心三角形处）。$i$可以放在空心三角形处，共有$m+1$种放法。

情况二$i\mod4=2,j\mod4=1,j-i\geq7$，多出$m-1$种可分数列情况

$a_*$▽$a_*,a_*,a_*,a_*$▽$a_*,a_*,a_*,a_*$▽$...$▽$a_*,a_*,a_*,a_*,a_*,a_*$ ▼$a_*$

​ $a_j\space\space j=4m+1$

为了避免和之前的情况重复，$j$只能是$4m+1$（放在实心三角形处）。$i$可以放在空心三角形处，共有$m-1$种放法。

加起来比$m=y-1$时多出了$2m$种可分数列情况。

每次多出的可分数列情况可以构成等差数列，我们可以用之前学过的等差数列求和公式计算出$m$为一个数时有多少种可分数列情况。

根据第一小问，$m=1$时有$3$种可分数列情况。（化简后便于比较）

$$3+\frac{(4+2m)\times(m-1)}2\\ =3+(2+m)\times(m-1)\\ =3+m\times(2+m)-(2+m)\\ =3+2m+m^2-2-m\\ =m^2+m+1$$

接着，我们需要计算$m$为一个数时$i$和$j$有多少种选法。

首先，不考虑顺序，$i$任选，$j$可以在剩下$4m+1$项选，共$(4m+2)\times(4m+1)$种选法，但是我们没有考虑顺序，因为$i$一定小于$j$，所以还要除以$2$。

化简，方便比较。

$$\frac{(4m+2)\times(4m+1)}2\\ =(2m+1)\times(4m+1)\\ =4m\times(2m+1)+2m+1\\ =4m\times2m+4m+2m+1\\ =8m^2+6m+1$$

$P_m=\frac{m^2+m+1}{8m^2+6m+1}\space\space\space\frac{m^2+m+1}{8m^2+6m+1}<\frac18\space\space\space P_m<\frac18$

得证！